Deducción Elemental de la Estructura Fina del Espectro del Hidrógeno

 

P.Kittl

Departamento de Mecánica

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Universidad de Chile

Beauchef 850. Casilla. 2777.

Correo 21- Santiago-Chile

 

 

 

RESUMEN

 

 

            Sí a la longitud de ondas del electrón -- con velocidad lineal se le adjunta otra longitud de ondas - -del electrón alrededor de si mismo, adoptando la cuantificación de De Broglie se logra la fórmula de Sommerfeld de la estructura fina.  A la longitud de ondas -- le corresponde la velocidad del electrón y de grupo de la onda y a la longitud de ondas -- la velocidad de fase. Finalmente, se puede estimar el espín del electrón. 

 

 

INTRODUCCIÓN

 

 

            Mediante la aplicación de la teoría de Bohr caso de las órbitas elípticas y teniendo en cuenta la teoría restringida  de la relatividad, pudo Sommerfeld [1] dar cuenta de la estructura fina del átomo de Hidrógeno.  Además, la teoría tenía en cuenta el corrimiento del perihelio, que sin embargo, no daba un valor de acuerdo a la experiencia.  Este hecho sumado a que la ecuación relativista de Schorodinger no da un resultado conforme a la experiencia, hace pensar que el acierto de Sommerfeld se debe a una casualidad.  Sólo la aplicación de las ecuaciones de Dirac, permitieron a Darwin y Gordon [2,3] obtener una deducción exacta , por que las ecuaciones de Dirac toman en cuenta no solo la relatividad restringida , sino además el espín del electrón.  La fórmula encontrada por Sommerfeld y comprobada por la experiencia es:

 

(1)        ,

donde:   y  

 

            En la expresión anterior,  es el término de la línea espectral, R es la constante de Rydberg, Z es el número atómico,  (el número cuántico principal) ,  es el número cuántico azimutal,  es la constante de estructura fina,  es la carga del electrón, es la velocidad de la luz, es la constante de Planck y  es la masa en reposo del electrón.  Estos valores son: (2)

 

            Sí se toma, ,  el número cuántico radial de Sommerfeld. A continuación, siguiendo a Loedel [4], se justifica la fórmula de Sommerfeld con una extensión a la teoría de De Broglie.

 

 

VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO.

 

La teoría de De Broglie: 

 

Según Einstein, un fotón tiene la energía

 

(3)       

 

donde,  es la frecuencia del fotón y  su masa adjunta, luego su cantidad de movimiento es:

 

(4)       

 

y la fórmula (3) se transforma en:

 

(5)       

 

Como se tiene que, con  la longitud de onda:  .  Se puede colocar en forma simétrica:

(6)                  ,          

 

            De Broglie extendió esta idea a cualquier partícula de masa en reposo  y velocidad  que, según la teoría de la relatividad restringida es:

 

(7)                     ,       , donde:

 

con lo que se verifica:

 

(8)                            

                              

 

            La onda asociada es:

 

(9)                              

 

esta onda avanza con la velocidad de fase  u  , que se determina por la superficie de fase constante:

 

(10)                          

                                       

Por lo tanto:

 

(11)                              

 

            Esta velocidad de fase  u, no puede determinarse experimentalmente, salvo sí se le superpone otra onda.  Aquí no lo haremos en forma, general para lo cual se precisa la integral de Fourier. Así  que la superposición de dos ondas es:

 

(12)                             

 

que puede escribirse:

 

(13)                       

            La ecuación (13) representa una vibración de frecuencia  y de número  de onda, cuya amplitud varía con una frecuencia  y longitud de onda .  Cuando  y , la velocidad de fase es:

 

(14)                                           

la velocidad de grupo es:

 

(15)                                          

 

            En el caso de una partícula libre se tiene según las fórmulas de la relatividad restringida:

 

(16)                                      

 

                         

 

Se tiene que recordar que  v  es la velocidad de la partícula y  u  la velocidad de fase, que por tener un valor superior a  c  no tiene sentido físico.

 

Para la velocidad de grupo:

 

 

(17)                                                  

 

 

Cuantificación del átomo de hidrógeno.   La primera cuantificación  consiste en suponer órbitas exclusivamente circulares del electrón alrededor del núcleo, así que entran en la circunferencia un número entero de ondas.

 

(18)                                           

 

donde   a  es el  radio de la órbita.  Este electrón tiene la velocidad  v y le corresponde una velocidad de fase  , mayor que la luz.  Esto debe interpretarse como la rotación del electrón alrededor de si mismo.  Le corresponde una longitud de onda  .

 

 

(19)                                   

 

Si imaginamos que la onda  guía recorre la circunferencia de  radio a  y luego otra con radio igual al radio del electrón  , con un número entero  v de veces  la longitud de onda  l' , se tiene como condición cuántica.

 

(20)                         

 

El número  debe ser fijado con una nueva hipótesis y es:

 

 (21)                                            

 

Si introducimos la fórmula 20 los valores de  dados en la 19 obtenemos.

 

   

(22)                                                

 

De la igualdad entre la fuerza centrifuga y la atracción entre el electrón de carga  e  y el núcleo de carga  Ze  se obtiene:

 

(23)                                                                                                               

 

Reemplazando en 22 la 23   

 

(24)                                                                                                            

 

Dividiendo por  c  y por h se tiene:

 

(25)                                                                                                            

 

Si  obtenemos    de 25, en forma de fracción continua y despreciando los términos de orden superior a

 

                      

 

La energía total  E  es la energía cinética  T más la energía potencial U y de acuerdo a la teoría de la relatividad es :

 

 

(27)                                                                     

 

 

                                                                

 

Limitándose a los términos en 

 

 

(28)                                                                                                            

 

Reemplazando en 28 el valor de v obtenido en 26 se obtiene el término espectral  .

 

 

(29)                                                                                                            

 

Si se hace :

                                                                   

 

donde  k'   es el número cuántico radial y K el  azimutal 

 

Se llega a la fórmula de  Sommerfeld

 

 (30)                                      

 

 

 

o lo que es lo mismo

 

(31)                     

 

donde

 

(32)                              

 

 

Conclusiones

 

El modelo aquí desarrollado esta bastante próxima a la realidad puesto que se consigue obtener el spin del electrón.  Se puede calcular el radio de la primera órbita del átomo de  Hidrógeno haciendo   en la fórmula 22 y despejando  v  y reemplazando en la 23 se obtiene  v  y el radio  a de la primera órbita del electrón.

 

 (33)                                 

 

 

Según 16 la velocidad de fase que correspondería a la del electrón en torno de si mismo es:

 

(34)                                                             

 

El momento de la cantidad de movimiento s  supuesto que electrón es una corriente cerrada circular de radio  .

 

(35)                                                             

 

donde    se  calcula con la fórmula

 

(36)                                                             

 

Puesto que la energía de la carga es (5)   , la teoría electrodinámica de Born con  a »  1, y es igual a la energía  de  masa del electron  .  Reemplazando cada cantidad por las obtenidas previamente se obtiene :

 

(37)                                                             

 

Valor que concuerda  con lo establecido en forma experimental por Uhlembeck y Goudsmit, y teóricamente por Dinac, Dawin y Gerson.  En el esquema que sigue se ve que puede tener solo dos orientaciones (Fig. 1).

 

 

 

 

 

Fig. 1.  Las dos orientaciones del spin según  si el ¿? es hacia afuera o hacia adentro de la órbita del electrón.

 

Así se ve que con métodos sencillos se puede mostrar como se explica la estructura firme del átomo de hidrógeno y como aparece el spin del electrón..  Pero se debe insistir que en modo alguno es una teoría completa que pudiera reemplazar a la teoría de Dirac.  Una visión bastante actual del problema está en Born (5)

 

 

Bibliografía  

 

1.                  Sommerfeld, A., Atomic Structure and Spectral Lines, trad. De la 3^ª edición Alemana por  H.L. Brose, New York, E.P. Dutton, 1923.

 

2.                  Darwin, C. G.,  Proc. Roy. Soc.  188 (1928) 654.

 

3.                  Gordon, W.,  Zeitschriftf.  Physik 48(1828) II.

 

4.                  Loedel-Palumbo, E. , Contribución al estudio de Ciencias Físicas y Matemáticas, La Plata, I (1935) 89.

 

5.                  Born, M. Física atómica, numerosas ediciones en casi todos los idiomas.