Integral de Línea: Circulación

Nos interesa considerar aquí la integral de línea que se define en mecánica en conexión con la idea de trabajo. Matemáticamente, se tiene un campo vectorial $\vec F$, y se considera la cantidad

$$W_{a-b} = \int_{\Gamma_{a-b}} \vec F (\vec r) \cdot d\vec r,$$

en que se recorre una trayectoria $\Gamma$, desde un punto a hasta un punto b.

En general, si se desea evaluar una integral de este tipo en forma directa, se procede a parametrizar la curva, lo que significa que se escribe una expresión (o expresiones) para describir la forma de la curva, en la forma

$$\vec r = \vec r (u),$$

en que u es un parámetro tal que $\vec r_a = \vec r(u_a)$, y $\vec r_b = \vec r (u_b)$, con lo cual la integral se convierte en una integral unidimensional usual,

$$W_{a-b} = \int_{\Gamma_{a-b}} \vec F (\vec r) \cdot d\vec r ... ..._a}^{u_b} \vec F (\vec r (u) )\cdot \frac{d \vec r(u)}{du} du.$$

En muchas ocasiones, como veremos en el curso, es importante considerar una integral de línea sobre una trayectoria cerrada,

$$\oint_{\Gamma} \vec F (\vec r ) \cdot d\vec r.$$

Como se sabe, los campos para los cuales toda integral sobre una curva cerrada se anula son llamados conservativos, y presentan muchas propiedades interesantes.