Coordenadas Cilíindricas

La expresión anterior para $d\Phi$ es escalar e invariante, esto significa que, si expresamos los vectores $d\vec r$ y $\vec \nabla \Phi$ en coordenadas cilíndricas, tendremos

$$d\vec r = \frac{\partial \vec r}{\partial r} dr + \frac{\par... ...r}{\partial z} dz = dr \hat r + r d\phi \hat \phi + dz \hat z,$$

en que se ha definido

Con esto, se tiene

$$d\Phi = \vec \nabla \Phi (\vec r) \cdot d\vec r = dr (\vec ... ... d\phi (\vec \nabla \Phi )_{\phi} + dz (\vec \nabla \Phi )_z.$$

Esto se debe comparar con

$$d \Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial r} dr + \frac{\partia... ...}{\partial \phi} d\phi + \frac{\partial \Phi}{\partial z} dz,$$

con lo que se obtiene,

Finalmente,

$$\vec \nabla \Phi (r, \phi, z) = \frac{\partial \Phi}{\partia... ...ial \phi} \hat \phi + \frac{\partial \Phi}{\partial z} \hat z$$